Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\sqrt{5 x + 2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x + 2}$ comme ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 x + 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x + 2$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x + 2$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 8.3

Placez ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 12

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Étape 14.2

Associez $\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $5$ .

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Déplacez $5$ à gauche de $e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$