Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3} + 0)$

Étape 3.6.2

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 x^{- 3})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} (2 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$e^{- \frac{1}{x^{2}}} \frac{2}{x^{3}}$

Étape 4.2.2

Associez $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ et $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot 2}{x^{3}}$

Étape 4.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{- \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$