Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Étape 1.1.2

Multipliez $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

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Étape 1.1.2.1

Associez $x$ et $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Étape 1.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Étape 1.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Étape 1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez $x^{2} (1 + x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Étape 3.2.2

Simplifiez $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez $2 x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Étape 3.2.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Étape 3.2.2.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.2.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Étape 3.2.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Étape 3.2.2.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Étape 3.2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Étape 3.2.3.2

Ajoutez $2 x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Étape 3.2.3.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{3} - x^{2}$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Étape 3.2.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Étape 3.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Étape 3.2.6

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.2.6.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.7

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.7.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 3.2.7.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 3.2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ vrai.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{3}$