Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 1$ plus $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $- (3 x + 1)$ comme $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$