Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x + 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + 2$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 2$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (- {(x + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 3$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 3$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 3.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Étape 3.14

Multipliez $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.15

Placez ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$