Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

Étape 1

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 9

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10.2

Multipliez $1 - \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x)) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.1.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 11.3.1.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.2

Déplacez $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.4

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.5

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.6

Réorganisez les termes.

$\frac{- 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 5 \cdot 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.3.8

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{- 5 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.4

Factorisez $5$ à partir de $- 5 + 5 \sin (x)$ .

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Étape 11.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.4.2

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)$ .

$\frac{5 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x)$ .

$\frac{5 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{5 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$