Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x)]$

Étape 2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})]$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1}]$

Étape 2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}]$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}}]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Associez $2$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 11

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 13.4

Divisez $3 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}}$