Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - \sqrt{lim_{x \to 3} 4 - x}}$

Étape 1.1.3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - \sqrt{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}}$

Étape 1.1.3.7

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}$

Étape 1.1.3.8

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}$

Étape 1.1.3.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2} - \sqrt{4 - 3}}$

Étape 1.1.3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.9.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 2} - \sqrt{4 - 3}}$

Étape 1.1.3.9.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - \sqrt{4 - 3}}$

Étape 1.1.3.9.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{4 - 3}}$

Étape 1.1.3.9.1.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Étape 1.1.3.9.1.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.9.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.9.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.9.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 2}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.13

Multipliez $\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.14

Placez ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 1.3.8.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Étape 1.3.8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Étape 1.3.8.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Étape 1.3.8.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Étape 1.3.8.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Étape 1.3.8.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 1.3.8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Étape 1.3.8.14

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Étape 1.3.8.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Étape 1.3.8.16

Associez $\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Étape 1.3.8.17

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.18

Réécrivez $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.19

Placez ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.8.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.8.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.8.22

Multipliez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.4.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x - 2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + lim_{x \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.10

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.11

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.13

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} 4 - x}}}$

Étape 2.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}}}$

Étape 2.15

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 3} x}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 - 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Étape 4.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 3}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}}$

Étape 4.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{1 + 1}{2}}$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.7

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.4

Divisez $1$ par $1$ .

$1$