Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $40$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $32$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $- 4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Multipliez $8$ par $16$ .

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $40$ par $- 4$ .

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $160$ de $128$ .

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.7.3

Additionnez $- 32$ et $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + 40 x + 32$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $40$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.5

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $16 x + 40$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

Étape 1.4

Divisez $16 x + 40$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

Étape 2.2

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $40$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$16 \cdot - 4 + 40$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $16$ par $- 4$ .

$- 64 + 40$

Étape 4.2

Additionnez $- 64$ et $40$ .

$- 24$