Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Étape 4.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Étape 4.7

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Étape 4.8

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Pour écrire $4 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Étape 5.3

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$