Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3 e^{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sqrt{x} + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.10

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 2.13

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 e^{x}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$