Calcul infinitésimal Exemples

$z = (4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $t$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 4 - t$ et $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 9 + t^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(4 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 3.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 3.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Étape 3.3.11.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 3.3.11.3

Réécrivez $- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ comme $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(4 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Associez $t$ et $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$(4 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.5

Pour écrire $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.6

Associez $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ et $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

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Étape 3.4.5.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.4.5.1.1.1

Remettez dans l’ordre $4$ et $- t$ .

$\frac{- (- t + 4) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.1.1.2

Remettez dans l’ordre $9$ et $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.1.1.3

Remettez dans l’ordre $9$ et $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.2

Annulez le facteur commun de $t^{2} + 9$ .

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Étape 3.4.5.2.1

Factorisez $t^{2} + 9$ à partir de $(- t + 4) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.2.2

Factorisez $t^{2} + 9$ à partir de ${(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- ((- t + 4) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.3

Multipliez $- t + 4$ par $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 4) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $- t + 4$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 (- t + 4) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8

Réécrivez $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}$ en forme factorisée.

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Étape 3.4.5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.5.8.4.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.5.8.4.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.4.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.5

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.4.5.8.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 3.4.5.8.6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 t$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 (t) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.6.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 1$ plus $9$

$\frac{- \frac{- t^{2} + (- 1 + 9) t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{- t^{2} - 1 t + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.4.5.8.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{- \frac{(- t^{2} - 1 t) + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{- \frac{t (- t - 1) - 9 (- t - 1)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.5.8.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- t - 1$ .

$\frac{- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

Étape 3.4.7

Multipliez $- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ .

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Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{t^{2} + 9}$ par $\frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $t^{2} + 9$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

Étape 3.4.7.3

Élevez $t^{2} + 9$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

Étape 3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$- \frac{(- (t) - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.9

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{(- (t) - 1 (1)) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t) - 1 (1)$ .

$- \frac{- (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.11

Réécrivez $- (t + 1)$ comme $- 1 (t + 1)$ .

$- \frac{- 1 (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.4.14

Multipliez $\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$