Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2} \ln (4 x)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} \ln (4 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (4 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (4 x)$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{4 x}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$4 (\frac{x \cdot x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$4 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{x}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $4$ et $\frac{x}{4}$ .

$4 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 (x + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x + \ln (4 x) (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 (\ln (4 x) (2 x))$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x + 8 \ln (4 x) x$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x \ln (4 x) + 4 x$