Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Étape 3.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Étape 3.2.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Étape 3.7

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Étape 3.8.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Étape 3.9

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$