Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{2} \cos (3 x)$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (3 x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- 15 (x^{2} (\sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 \cos (3 x) x$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 x \cos (3 x)$