Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Étape 1

Écrivez $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Étape 2.1.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Étape 2.1.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Étape 2.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Étape 2.1.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

Étape 2.1.1.2.6

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + 0)$

Étape 2.1.1.2.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 2.1.1.3.2

Multipliez $2 x - 4$ par $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 2.1.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 2.1.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 2.1.1.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 2.1.1.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.4.2

Multipliez $x^{2} - 4 x + 20$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.10

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.11

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.3.11.1

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3.11.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.4.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.2

Multipliez $2$ par $20$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.4

Développez $(- x + 2) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.4.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.4.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.1.6

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.5.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.3.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.7.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.1.7.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 40 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.3

Additionnez $- 8 x$ et $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 40 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.3.4

Soustrayez $16$ de $40$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 8 x + 24$ .

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Étape 2.1.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.4.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.1.2.4.4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.4.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (x (- x - 2) - 6 (- x - 2))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$\frac{2 ((- x - 2) (x - 6))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.8

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x + 2) (x - 6) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.2.3.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 2) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - 2, 6$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 4 x + 20 > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Étape 3.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 3.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.3

Soustrayez $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 3.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.3

Soustrayez $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Étape 3.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + 4 i$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 3.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.3

Soustrayez $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Étape 3.2.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Étape 3.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - 4 i$

Étape 3.2.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 3.2.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{2}$

Étape 3.2.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 3.2.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, la parabole ouvre vers le haut et $x^{2} - 4 x + 20$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 2) ((- 4) - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 2 (- 4 - 6))}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 (- 4 - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $6$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 + 16 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(32 + 20)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $32$ et $20$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{52^{2}}$

Étape 5.2.2.5

Élevez $52$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{2704}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$f'' (- 4) = - \frac{40}{2704}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $40$ et $2704$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $2704$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{5}{338}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 2) ((0) - 6)}{{({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (2 (0 - 6))}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 6)}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 20)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $0$ et $20$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{20^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{400}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$f'' (0) = - \frac{- 24}{400}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $400$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 24$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 3)}{400}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{- 3}{50}$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = \frac{3}{50}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{3}{50}$ .

$\frac{3}{50}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 2, 6)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 2, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = - \frac{2 ((8) + 2) ((8) - 6)}{{({(8)}^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Additionnez $8$ et $2$ .

$f'' (8) = - \frac{2 \cdot (10 (8 - 6))}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$f'' (8) = - \frac{20 (8 - 6)}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $6$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 32 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $32$ de $64$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(32 + 20)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $32$ et $20$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{52^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Élevez $52$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{2704}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Multipliez $20$ par $2$ .

$f'' (8) = - \frac{40}{2704}$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $40$ et $2704$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $40$ .

$f'' (8) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $2704$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (8) = - \frac{5}{338}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(6, \infty)$ car $f'' (8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 2, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9