Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x}$

Étape 1

Écrivez $x e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 2.1.1.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x} + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.4

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.1.2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 2.1.2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 2$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Étape 5.2.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Étape 5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

Étape 5.2.1.5

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

Étape 5.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{2}{e^{4}}$ .

$- \frac{2}{e^{4}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

Étape 6.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 2, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8