Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\sqrt[4]{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{4}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Étape 10

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ par $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot 4}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4 \cdot x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 11.2

Placez $x^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $x^{\frac{3}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1

Déplacez $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4 (x^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{4}})}$

Étape 12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}$

Étape 12.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3 + 1}{4}}}$

Étape 12.1.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{4}{4}}}$

Étape 12.1.5

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{4 x^{1}}$

Étape 12.2

Simplifiez $4 x^{1}$ .

$\frac{1}{4 x}$