Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 48 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 48$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 48$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $48$ par $12$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2, - 2$ .

$2, - 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = 12 \cdot 9 - 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Étape 5.2.2

Soustrayez $48$ de $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $60$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 48$

Étape 6.2.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$f' (0) = - 48$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 48$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 2)$ .

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 48$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 48$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$f' (3) = 108 - 48$

Étape 7.2.2

Soustrayez $48$ de $108$ .

$f' (3) = 60$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $60$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, 2)$

Étape 9