Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Étape 3.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Étape 3.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Étape 3.5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Étape 3.6

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Étape 3.7

Développez le côté gauche.

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Étape 3.7.1

Développez $\ln (e^{y + 1})$ en déplaçant $y + 1$ hors du logarithme.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Étape 3.7.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Étape 3.7.3

Multipliez $y + 1$ par $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Étape 3.8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Étape 5.2.3.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Étape 5.2.3.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Étape 5.2.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Étape 5.2.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Étape 5.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Étape 5.2.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $e^{x + 1}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Étape 5.2.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Étape 5.2.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\ln (2 x + 4)$ et $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Étape 5.3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Étape 5.3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Étape 5.3.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Étape 5.3.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.3.5.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$