Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cot (- x) + \sec (π x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cot (- x) + \sec (π x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (- x)] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cot (- x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cot (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- \csc^{2} (- x) \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (- x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (- x) (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \csc^{2} (- x) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 2.6

Multipliez $\csc^{2} (- x)$ par $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d x} [\sec (π x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sec (π x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = π x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) (π \cdot 1)$

Étape 3.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$\csc^{2} (- x) + \sec (π x) \tan (π x) π$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (- x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $\csc (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\csc (- x)$ comme $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- \csc (x))}^{2}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $- \csc (x)$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + {(- 1)}^{2} \csc^{2} (x)$

Étape 4.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + 1 \csc^{2} (x)$

Étape 4.2.4

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $1$ .

$π \sec (π x) \tan (π x) + \csc^{2} (x)$