Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{x^{5} - 12}$ par $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5} - 12$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.4

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{x}{x^{5} - 12}$ par $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $x$ à partir de $(x^{5} - 12) x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Étape 12.3.2

Soustrayez $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Étape 12.4

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.4.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 12.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

Étape 12.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

Étape 12.4.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

Étape 12.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{5} + 12$ .

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Étape 12.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{5}$ .

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

Étape 12.5.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

Étape 12.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

Étape 12.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{6} - 12 x$ .

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Étape 12.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

Étape 12.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

Étape 12.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$