Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{7} {(4 - x)}^{8}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = {(4 - x)}^{8}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{8}] + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{7} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \cdot 1) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.7

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} (7 x^{6})$

Étape 3.9

Déplacez $7$ à gauche de ${(4 - x)}^{8}$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 \cdot {(4 - x)}^{8} x^{6}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ à partir de $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ à partir de $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7})$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ à partir de $7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$

Étape 4.1.3

Factorisez $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ à partir de $x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8) + 7 (4 - x))$

Étape 4.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (- 8 x + 7 (4 - x))$