Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 1.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ à $\sec (2 \cdot 0)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 \cdot 0)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \sec (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$