Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 5 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Étape 3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Étape 3.2

Placez le terme $- 5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.4

Placez la limite sous le radical.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7.7

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Divisez $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ par $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Étape 9.3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Étape 9.3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Étape 9.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Étape 9.3.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Étape 9.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5}{2}$

Forme décimale :

$- 2.5$