Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = y^{3} - 3 y^{2} - x^{2} - 9 y + 10 x - 60$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - 3 y^{2} - x^{2} - 9 y + 10 x - 60$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} - 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 y^{2} - 6 y + \frac{d}{d y} [- x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 3

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 + \frac{d}{d y} [- 9 y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 9 y$ par rapport à $y$ est $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 4.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + \frac{d}{d y} [10 x] + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1

Comme $10 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + 0 + \frac{d}{d y} [- 60]$

Étape 5.2

Comme $- 60$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 60$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 y^{2} - 6 y + 0 - 9 + 0 + 0$

Étape 6

Associez des termes.

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Étape 6.1

Additionnez $3 y^{2} - 6 y$ et $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9 + 0 + 0$

Étape 6.2

Additionnez $3 y^{2} - 6 y - 9$ et $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9 + 0$

Étape 6.3

Additionnez $3 y^{2} - 6 y - 9$ et $0$ .

$3 y^{2} - 6 y - 9$