Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Étape 7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Étape 9.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Étape 9.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ par $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Étape 9.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ par $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Étape 9.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Étape 9.6

Simplifiez

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Étape 9.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Étape 9.8

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ comme $- (\sqrt{2} - 2)$ .

$- (\sqrt{2} - 2)$

Étape 9.9

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} - - 2$

Étape 9.10

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{2} + 2$

Forme décimale :

$0.58578643 \dots$