Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{{(6 x - 5)}^{9}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(6 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{({(6 x - 5)}^{9})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 x - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 2.3

Multipliez ${(6 x - 5)}^{9}$ par $1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{9}]}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = 6 x - 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x - 5$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x - 5$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - x (9 {(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 4.2

Factorisez ${(6 x - 5)}^{8}$ à partir de ${(6 x - 5)}^{9} - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez ${(6 x - 5)}^{8}$ à partir de ${(6 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) - 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 4.2.2

Factorisez ${(6 x - 5)}^{8}$ à partir de $- 9 x ({(6 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 5])$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 4.2.3

Factorisez ${(6 x - 5)}^{8}$ à partir de ${(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5) + {(6 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{18}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez ${(6 x - 5)}^{8}$ à partir de ${(6 x - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(6 x - 5)}^{8} (6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5]))}{{(6 x - 5)}^{8} {(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x - 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 9

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x (6 + 0)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 11

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{6 x - 5 - 9 x \cdot 6}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 11.2

Multipliez $6$ par $- 9$ .

$\frac{6 x - 5 - 54 x}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 11.3

Soustrayez $54 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 48 x - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 48 x$ .

$\frac{- (48 x) - 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 12.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{- (48 x) - 1 (5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (48 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 12.4

Réécrivez $- (48 x + 5)$ comme $- 1 (48 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (48 x + 5)}{{(6 x - 5)}^{10}}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{48 x + 5}{{(6 x - 5)}^{10}}$