Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \log (\sin (3 x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\log (\sin (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\log (\sin (3 x))$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\log (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 3

Associez $\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ et $e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\cos (3 x)$ et $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Associez $3$ et $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ par $1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Étape 6.2

Séparez les fractions.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Étape 6.3

Convertissez de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ à $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

Étape 6.4

Associez $\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ et $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$