Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\log (e^{5 x})}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \log (e^{5 x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\log (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\log (e^{5 x})$ .

$e^{\log (e^{5 x})} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{5 x}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\log (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{5 x}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)}$ et $e^{\log (e^{5 x})}$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $e^{\log (e^{5 x})}$ et $e^{5 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $e^{\log (e^{5 x})}$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Factorisez $e^{5 x}$ à partir de $e^{5 x} \ln (10)$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} (\ln (10))} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 5

Associez $e^{5 x}$ et $\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)}$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 6

Multipliez $e^{5 x}$ par $e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{e^{0 + \log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $\log (e^{5 x})$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Associez $5$ et $\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \cdot 1$

Étape 10

Multipliez $\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ par $1$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$