Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{t + 1}{2^{t}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t + 1$ et $g (t) = 2^{t}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{{(2^{t})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{t})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{t \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2^{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2^{t} (1 + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2^{t} (1 + 0) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2^{t} \cdot 1 - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2^{t}$ par $1$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2^{t} + (- t - 1 \cdot 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 \cdot 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez $- 1 (2^{t} \ln (2))$ comme $- (2^{t} \ln (2))$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

$\frac{2^{t} - t \cdot 2^{t} \ln (2) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2^{t} t \ln (2) - 2^{t} \ln (2) + 2^{t}}{2^{2 t}}$