Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (3 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(3 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x^{2})$ .

$\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 9 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Associez $3$ et $\frac{1}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 9 x^{4}} (2 x)$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Associez $2$ et $\frac{3}{1 + 9 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 9 x^{4}} x$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{1 + 9 x^{4}} x$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{6}{1 + 9 x^{4}}$ et $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 9 x^{4}}$

Étape 2.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x}{9 x^{4} + 1}$