Calcul infinitésimal Exemples

$s (x) = 5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- 1.5 x}$ et $g (x) = \cos (2 π x)$ .

$5 (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 π x)] + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 π x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 π x$ par rapport à $x$ est $2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) (2 π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \cdot 1)) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 4.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 1.5 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 1.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.5 x$ par rapport à $x$ est $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \cdot 1)))$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1.5$ par $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \cdot - 1.5))$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 1.5$ à gauche de $e^{- 1.5 x}$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (- 1.5 \cdot e^{- 1.5 x}))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 10 (e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1.5$ par $5$ .

$- 10 e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π) - 7.5 \cos (2 π x) e^{- 1.5 x}$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 10 π e^{- 1.5 x} \sin (2 π x) - 7.5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$