Calcul infinitésimal Exemples

$s (t) = \frac{1}{t^{2} + 3 t - 1}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{t^{2} + 3 t - 1}$ comme ${(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2} + 3 t - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} + 3 t - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 3 t - 1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3 t - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 3 t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $2 t + 3$ et $0$ .

$- {(t^{2} + 3 t - 1)}^{- 2} (2 t + 3)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}} (2 t + 3)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}} (2 t + 3)$ .

$- (2 t + 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 t) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(- 2 t - 3) \frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 2 t - 3$ par $\frac{1}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Réécrivez $- (2 t + 3)$ comme $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$

Étape 4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 t + 3}{{(t^{2} + 3 t - 1)}^{2}}$