Calcul infinitésimal Exemples

$P (t) = (t^{2} + 100) \ln (t + 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2} + 100$ et $g (t) = \ln (t + 2)$ .

$(t^{2} + 100) \frac{d}{d t} [\ln (t + 2)] + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 2$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 2$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{t + 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + 0) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} \cdot 1 + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 3.4.2

Multipliez $t^{2} + 100$ par $1$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 100$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100]$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + \frac{d}{d t} [100])$

Étape 3.7

Comme $100$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $100$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + 0)$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t)$

Étape 3.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + 2 t \ln (t + 2)$