Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Étape 5.2

Multipliez $e^{x} + \frac{1}{x}$ par $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Étape 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Étape 5.3.2

Associez.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Étape 5.6

Factorisez $x$ à partir de $x e^{x} + x \ln (x)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Étape 5.6.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Étape 5.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$