Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{9}$ et $g (t) = \frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t - 2$ et $g (t) = 2 t + 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t - 2] - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + 0) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \cdot 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2 t + 1$ par $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Étape 3.10.3

Associez $\frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$ et $9$ .

$\frac{(2 t + 1 - 2 (t - 2)) \cdot 9}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Étape 3.10.4

Déplacez $9$ à gauche de $2 t + 1 - 2 (t - 2)$ .

$\frac{9 \cdot (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 t - 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (2 t) + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 t + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{18 t + 9 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 \cdot 4}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.5

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.6

Soustrayez $18 t$ de $18 t$ .

$\frac{0 + 9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.7

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.8

Additionnez $9$ et $36$ .

$\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.9

Multipliez $\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}}$ par $\frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2} {(2 t + 1)}^{8}}$

Étape 4.4.10

Multipliez ${(2 t + 1)}^{2}$ par ${(2 t + 1)}^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.10.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2 + 8}}$

Étape 4.4.10.2

Additionnez $2$ et $8$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{10}}$