Calcul infinitésimal Exemples

$g (r) = r^{2} \ln (2 r + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = r^{2}$ et $g (r) = \ln (2 r + 1)$ .

$r^{2} \frac{d}{d r} [\ln (2 r + 1)] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = \ln (r)$ et $g (r) = 2 r + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$r^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{1}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2 r + 1}$ et $r^{2}$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 r + 1$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $2 r$ par rapport à $r$ est $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + 0) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \cdot 2 + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{r^{2}}{2 r + 1}$ et $2$ .

$\frac{r^{2} \cdot 2}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $r^{2}$ .

$\frac{2 \cdot r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) (2 r)$

Étape 4

Pour écrire $\ln (2 r + 1) (2 r)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 r + 1}{2 r + 1}$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \frac{\ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 r^{2} + \ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln (2 r + 1) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Étape 6.1.2

Simplifiez $2 \ln (2 r + 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r) + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\ln ({(2 r + 1)}^{2})$ par $1$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Étape 6.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.6.1

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.6.1.1

Déplacez $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) (r \cdot r) + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Étape 6.1.6.1.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Étape 6.1.6.2

Simplifiez $2 \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({({(2 r + 1)}^{2})}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Étape 6.1.6.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 r + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.1.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2 \cdot 2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Étape 6.1.6.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

Étape 6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 r^{2} + r^{2} \ln ({(2 r + 1)}^{4}) + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$