Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{2 t}{3 t - 1}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{2 t}{3 t - 1}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 3 t - 1$ .

$2 \frac{(3 t - 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t - 1]}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(3 t - 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t - 1]}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $3 t - 1$ par $1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t \frac{d}{d t} [3 t - 1]}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t (3 + 0)}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez les termes.

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Étape 3.8.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 \frac{3 t - 1 - t \cdot 3}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \frac{3 t - 1 - 3 t}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Soustrayez $3 t$ de $3 t$ .

$2 \frac{0 - 1}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$2 \frac{- 1}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{{(3 t - 1)}^{2}})$

Étape 3.8.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(3 t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(3 t - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(3 t - 1)}^{2}}$