Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{8 t}{\ln (t)}$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{8 t}{\ln (t)}$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{\ln (t)}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{\ln (t)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \ln (t)$ .

$8 \frac{\ln (t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{\ln^{2} (t)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \frac{\ln (t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{\ln^{2} (t)}$

Étape 3.2

Multipliez $\ln (t)$ par $1$ .

$8 \frac{\ln (t) - t \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{\ln^{2} (t)}$

Étape 4

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$8 \frac{\ln (t) - t \frac{1}{t}}{\ln^{2} (t)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $t$ .

$8 \frac{\ln (t) - \frac{t}{t}}{\ln^{2} (t)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{\ln (t) - \frac{t}{t}}{\ln^{2} (t)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 \frac{\ln (t) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (t)}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 \frac{\ln (t) - 1}{\ln^{2} (t)}$

Étape 5.4

Associez $8$ et $\frac{\ln (t) - 1}{\ln^{2} (t)}$ .

$\frac{8 (\ln (t) - 1)}{\ln^{2} (t)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \ln (t) + 8 \cdot - 1}{\ln^{2} (t)}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $8 \ln (t)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (t^{8}) + 8 \cdot - 1}{\ln^{2} (t)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (t^{8}) - 8}{\ln^{2} (t)}$