Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = (x^{4} - 16) (x^{2} - 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4} - 16$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{4} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{4} - 16) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{4} - 16) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4} - 16$ .

$2 \cdot (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 2.7

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3} + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 (x^{4} - 16) x + (x^{2} - 4) (4 x^{3})$

Étape 2.8.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{4} - 16) x + 4 \cdot (x^{2} - 4) x^{3}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{4} + 2 \cdot - 16) x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 (x^{2} - 4) x^{3}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + (4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x^{3}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} x + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot - 16 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.5.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 4 x^{3}$

Étape 3.5.6

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$2 x^{5} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3}$

Étape 3.5.7

Additionnez $2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 32 x - 16 x^{3}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{5} - 16 x^{3} - 32 x$