Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{6}$ .

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 6.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Étape 6.2.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Étape 7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

Étape 8.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

Étape 8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Étape 8.6

Réécrivez $- (3 x^{2} + 5)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Étape 8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$