Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = e^{x} \ln (3 x + 11)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (3 x + 11)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 11)] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x + 11$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{1}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3 x + 11}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.6

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + 0) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \cdot 3 + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{e^{x}}{3 x + 11}$ et $3$ .

$\frac{e^{x} \cdot 3}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.7.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) e^{x}$

Étape 5

Pour écrire $\ln (3 x + 11) e^{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 11}{3 x + 11}$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \frac{\ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x) + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez $11 \ln (3 x + 11)$ en déplaçant $11$ dans le logarithme.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Étape 7.1.1.4

Simplifiez $3 \ln (3 x + 11)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Étape 7.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} + x e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11})}{3 x + 11}$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11}) + 3 e^{x}}{3 x + 11}$