Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \sqrt{x} + {(x - 3)}^{3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + {(x - 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $3 {(x - 3)}^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - 3)}^{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.3

Associez $3 {(x - 3)}^{2}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - 3)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 3 {(x - 3)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1 + 6 {(x - 3)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$