Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ sur $t$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $t^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Étape 4.2.2

Placez $t^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 4.2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Étape 5.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Étape 5.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t^{2}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Étape 5.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.3.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$