Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12$ à partir de $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ par $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 8 x + 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 8$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $2.21525043$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2.21525043$ dans l’expression.

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $2.21525043$ à la puissance $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $2.21525043$ à la puissance $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 16$ par $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Étape 3.1.2.1.5

Élevez $2.21525043$ à la puissance $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $18$ par $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $173.93559828$ de $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 101.68980263$ et $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $2.21525043$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ est $(2.21525043, - 13.35778166)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

Étape 3.3

Remplacez $0.45141622$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.45141622$ dans l’expression.

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $0.45141622$ à la puissance $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $0.45141622$ à la puissance $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 16$ par $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $0.45141622$ à la puissance $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

Étape 3.3.2.1.6

Multipliez $18$ par $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $1.47180912$ de $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 1.34723439$ et $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $2.32074462$ .

$2.32074462$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $0.45141622$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ est $(0.45141622, 2.32074462)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.45141622, 2.32074462)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0.45141622)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.35141622$ dans l’expression.

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $0.35141622$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $33.73595804$ de $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 29.29019685$ et $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $6.70980314$ .

$6.70980314$

Étape 5.3

Sur $0.35141622$ , la dérivée seconde est $6.70980314$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0.45141622)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0.45141622)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.45141622, 2.21525043)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $1.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $128$ de $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 64$ et $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 28$ .

$- 28$

Étape 6.3

Sur $1.\overline{3}$ , la dérivée seconde est $- 28$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0.45141622, 2.21525043)$

Diminue sur $(0.45141622, 2.21525043)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2.21525043, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.31525043$ dans l’expression.

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.31525043$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $222.26404195$ de $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 29.29019685$ et $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $6.70980314$ .

$6.70980314$

Étape 7.3

Sur $2.31525043$ , la dérivée seconde est $6.70980314$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2.21525043, \infty)$ .

Augmente sur $(2.21525043, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

Étape 9