Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 5.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 5.4

Associez $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$