Calcul infinitésimal Exemples

$z (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 2}{t + 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 5 t + 2$ et $g (t) = t + 9$ .

$\frac{(t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t + 2] - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 5 t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 t + 5$ et $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \frac{d}{d t} [t + 9]}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + \frac{d}{d t} [9])}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) (1 + 0)}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2) \cdot 1}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t + 2)}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t + 9) (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(t + 9) (2 t + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (2 t + 5) + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t + 5) - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t (2 t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 t \cdot t + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 t^{2} + t \cdot 5 + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 \cdot t + 9 (2 t) + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 9 \cdot 5 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $9$ par $5$ .

$\frac{2 t^{2} + 5 t + 18 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $5 t$ et $18 t$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - (5 t) - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 1 \cdot 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 t^{2} + 23 t + 45 - t^{2} - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 23 t + 45 - 5 t - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $5 t$ de $23 t$ .

$\frac{t^{2} + 18 t + 45 - 2}{{(t + 9)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $2$ de $45$ .

$\frac{t^{2} + 18 t + 43}{{(t + 9)}^{2}}$