Calcul infinitésimal Exemples

$(- 3 k) {(\frac{- 2 k^{- 5}}{k^{3}})}^{- 4}$

Étape 1

Placez $k^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3} k^{5}})}^{- 4}]$

Étape 2

Multipliez $k^{3}$ par $k^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{3 + 5}})}^{- 4}]$

Étape 2.2

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{- 2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Étape 3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- \frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Étape 4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2}{k^{8}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(- (\frac{2}{k^{8}}))}^{- 4}]$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{2}{k^{8}})$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k ({(- 1)}^{- 4} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{{(- 1)}^{4}} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (\frac{1}{1} {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d k} [- 3 k (1 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})]$

Étape 7.2.2

Multipliez ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ par $1$ .

$\frac{d}{d k} [- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Étape 7.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- 3 k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ par rapport à $k$ est $- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d k} [k {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ est $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ où $f (k) = k$ et $g (k) = {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ .

$- 3 (k \frac{d}{d k} [{(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}] + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = k^{- 4}$ et $g (k) = \frac{2}{k^{8}}$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 3 (k (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2}{k^{8}}$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{2}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Comme $2$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $\frac{2}{k^{8}}$ par rapport à $k$ est $2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]$ .

$- 3 (k (- 4 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (2 \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}])) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [\frac{1}{k^{8}}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10.2.2

Réécrivez $\frac{1}{k^{8}}$ comme ${(k^{8})}^{- 1}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [{(k^{8})}^{- 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10.2.3

Multipliez les exposants dans ${(k^{8})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{8 \cdot - 1}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} \frac{d}{d k} [k^{- 8}]) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = - 8$ .

$- 3 (k (- 8 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} (- 8 k^{- 9})) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 10.4

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$- 3 (k (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5} k^{- 9}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 11

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$- 3 (k^{- 9} k^{1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 (k^{- 9 + 1} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 13

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4} \cdot 1)$

Étape 15

Multipliez ${(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4}$ par $1$ .

$- 3 (k^{- 8} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Étape 16.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{2}{k^{8}})}^{- 4})$

Étape 16.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 {(\frac{k^{8}}{2})}^{5}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Étape 16.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{k^{8}}{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + {(\frac{k^{8}}{2})}^{4})$

Étape 16.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{k^{8}}{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}}) + \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}})$

Étape 16.6

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{{(k^{8})}^{5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7

Associez des termes.

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Étape 16.7.1

Multipliez les exposants dans ${(k^{8})}^{5}$ .

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Étape 16.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{8 \cdot 5}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.1.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{2^{5}})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (64 \frac{k^{40}}{32})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.3

Associez $64$ et $\frac{k^{40}}{32}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{64 k^{40}}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.4

Annulez le facteur commun à $64$ et $32$ .

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Étape 16.7.4.1

Factorisez $32$ à partir de $64 k^{40}$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.7.4.2.1

Factorisez $32$ à partir de $32$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 (1)}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{32 (2 k^{40})}{32 \cdot 1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} \cdot \frac{2 k^{40}}{1}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.4.2.4

Divisez $2 k^{40}$ par $1$ .

$- 3 (\frac{1}{k^{8}} (2 k^{40})) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.5

Associez $2$ et $\frac{1}{k^{8}}$ .

$- 3 (\frac{2}{k^{8}} k^{40}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.6

Associez $\frac{2}{k^{8}}$ et $k^{40}$ .

$- 3 \frac{2 k^{40}}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.7

Annulez le facteur commun à $k^{40}$ et $k^{8}$ .

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Étape 16.7.7.1

Factorisez $k^{8}$ à partir de $2 k^{40}$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8}} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.7.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 \frac{k^{8} (2 k^{32})}{k^{8} \cdot 1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 \frac{2 k^{32}}{1} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.7.2.4

Divisez $2 k^{32}$ par $1$ .

$- 3 (2 k^{32}) - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.8

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{{(k^{8})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.9

Multipliez les exposants dans ${(k^{8})}^{4}$ .

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Étape 16.7.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{8 \cdot 4}}{2^{4}}$

Étape 16.7.9.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{2^{4}}$

Étape 16.7.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- 6 k^{32} - 3 \frac{k^{32}}{16}$

Étape 16.7.11

Associez $- 3$ et $\frac{k^{32}}{16}$ .

$- 6 k^{32} + \frac{- 3 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 6 k^{32} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.13

Pour écrire $- 6 k^{32}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- 6 k^{32} \cdot \frac{16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.14

Associez $- 6 k^{32}$ et $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16}{16} - \frac{3 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 k^{32} \cdot 16 - 3 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.16

Multipliez $16$ par $- 6$ .

$\frac{- 96 k^{32} - 3 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.17

Soustrayez $3 k^{32}$ de $- 96 k^{32}$ .

$\frac{- 99 k^{32}}{16}$

Étape 16.7.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{99 k^{32}}{16}$