Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt[3]{8 + h} - 2}{h}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{8 + h}$ comme ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d h} [\frac{{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2}{h}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ est $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ où $f (h) = {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ et $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2] - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ et $g (h) = 8 + h$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{h (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 9.3

Placez ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 11

Comme $8$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $8$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 14

Multipliez $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 15

Comme $- 2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $h$ est $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Additionnez $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$\frac{h \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 16.2

Associez $h$ et $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 17

Multipliez $\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$ par $\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Étape 18

Simplifiez les termes.

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Étape 18.1

Associez.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 18.3

Annulez le facteur commun de $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 18.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 18.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 18.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \cdot 1)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 20

Multipliez ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ par $1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.2

Multipliez ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.1.2.1

Déplacez ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{h - 3 ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{3}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.2.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{1} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.3

Simplifiez $- 3 {(8 + h)}^{1}$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h - 3 \cdot 8 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$\frac{h - 24 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.6

Soustrayez $3 h$ de $h$ .

$\frac{- 2 h - 24 + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.8

Factorisez $2$ à partir de $- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24$ .

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Étape 21.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 h$ .

$\frac{2 (- h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.8.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.1.8.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Étape 21.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- h$ .

$\frac{2 (- (h) + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.4

Factorisez $- 1$ à partir de $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.6

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.8

Réécrivez $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ comme $- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ .

$\frac{2 (- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 21.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$